<T->
          Matemtica e realidade
          9 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4442
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1069-4
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2010. 
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          Fone: (11) 3613-3000 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                               I
Sumrio

Segunda Parte

<R+>
<F->
Unidade 3 -- Equaes
Captulo 7- Equao do
  2 grau :::::::::::::::: 127
Equao do 2 grau :::::: 129
Completando quadrados :::: 142
A frmula Bhaskara :::::: 145
Equaes literais :::::::: 153
Quantas razes ::::::::::: 159
Forma fatorada do trinmio 
  do 2 grau ::::::::::::: 170
Captulo 8- Equaes 
  redutveis  equao do 
  2 grau :::::::::::::::: 176
Equaes biquadradas ::::: 177
Sistemas de equaes ::::: 184
Equaes fracionrias :::: 191
Equaes irracionais ::::: 196
Matemtica no tempo -- A 
  frmula de Bhaskara :::: 211
<p>
Unidade 4 -- Temas da 
  geometria ::::::::::::::: 220
Captulo 9- Teorema de 
  Tales :::::::::::::::::: 220
Comparao de 
  grandezas ::::::::::::::: 220
Razo de segmentos ::::::: 221
Feixe de paralelas ::::::: 228
Teorema de Tales :::::::: 234
<F+>
<R->
<59>
<T mat. realidade 9>
<t+127> 
Unidade 3 -- Equaes

<F->
Captulos: 
7- Equao do 2 grau 
8- Equaes redutveis  
  equao do 2 grau 
<60>

Unidade 4 -- Temas da geometria 

Captulo:
9- Teorema de Tales

Captulo 7- Equao do 2 grau 
<F+>

 beira da quadra 

  Em torno de uma quadra de futebol de salo, de comprimento 15 m e largura 8 m, deseja-se deixar uma faixa de largura constante. 
  A rea da quadra, com a faixa, deve ser 198 m2. Qual deve ser a largura da faixa? 
<p>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::
l          cp                 _
l           l x               _
l          -v                 _
l         !:::::::: :!       _
l  x      l quadra _  l       _
l<:::::::>l        _  l 8 m  _
l         l        _  l       _
l         h::::::::j :h       _
l         r::::::::w          _
l            15 m            _ 
l                             _ 
h:::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Se *x* representa a largura da faixa em metros, a quadra com a faixa  um retngulo de dimenses 15+2x e 8+2x metros. Ento, devemos ter: 
<F->
`(15+2x`)`(8+2x`)=198 
120+30x+16x+4x2=198 
4x2+46x-78=0 
2x2+23x-39=0 
<F+>
  Essa  a equao que vai revelar a largura da faixa, que  o valor de *x*. Vamos ver como resolv-la. 
<p>
Equao do 2 grau 

  No problema anterior, recamos numa equao do 2 grau, assim chamada porque o termo de maior grau na equao tem grau 2. 

  Chama-se equao do 2 grau na incgnita *x* toda equao que pode ser colocada na forma: 
 ax2+bx+c=0 
  Em que *a*, *b* e *c* so nmeros reais e a=0. 

  Quando uma equao do 2 grau est colocada na forma ax2+bx+
 +c=0, dizemos que est na forma reduzida. 
<61>
  Os nmeros *a*, *b* e *c* so os coeficientes, e *x*  a incgnita. 
  Assim, na equao 2x2+23x-
 -39=0, temos: a=2; b=23; c=-39. 
<p>
Vamos resolver sem frmula 

  Voc j viu que resolver uma equao significa encontrar suas razes (ou solues). 

  Um nmero  raiz de uma equao quando, colocado em lugar da incgnita, a equao se transforma numa sentena verdadeira. 

  Por exemplo, na equao 3x2+4x+1=0, trocando *x* por -1, obtemos: 3`(-1`)2+
 +4`(-1`)+1=0; 3-4+1=0 que  uma sentena verdadeira. Logo, -1  raiz (ou soluo) da equao. 
<R->
  Vamos ver alguns casos de resoluo de equaes do 2 grau: 
<R+>
 Quando o coeficiente *b*  igual a zero, ou seja, quando a equao tem a forma: 
<R->
 ax2+c=0 
  Exemplos: 
<p>
  Na equao 4x2-9=0, temos a=4, b=0 e c=-9. Vamos determinar suas razes. 
<F->
4x2-9=0 
4x2=9 
x2=9~4 :> x=!:-?9~4*=
  =!:-3~2
<F+>
  Ou seja, as razes so 3~2 e -3~2.
 -2x2+10=0, em que a=-2, b=0 
  e c=10 
  Temos: 
<F->
-2x2+10=0 
-2x2=-10
x2=-10~-2=5 
x=!:-5
<F+>
  Ou seja, as razes so -5 e 5. 
 x2+2=0, em que a=1, b=0 e 
  c=2 
  Temos: 
<F->
x2+2=0 
x2=-2 
<F+>
  Como o quadrado de qualquer nmero real nunca  um nmero negativo, no existe nmero real *x* 
<p>
tal que x2=-2, ou seja, a equao x2+2=0 no possui razes reais. 
<62>

<F->
<R+>
Exerccios

1. Resolva as equaes: 
a) x2-4=0  
b) x2=9    
c) 4x2-25=0  
d) 9x2=16   
e) 2=x2  
f) -2x2+5=0   
g) x2+1=0
h) 3x2=2  
i) 4x2=100 
j) 2x2+11=0 

2. Para revestir uma parede de 9 m2 so necessrios exatamente 400 azulejos quadrados. Quanto mede o lado do azulejo?  
3. Quais dos nmeros so razes da equao 9x2-3x-2=0?  
-1; -1~3; 1~3; 2~3; 1.
<R->
<F+>
<p>
<R+>
 Quando a equao do 2 grau tem coeficiente *c* igual a zero, temos a forma: 
<R->
 ax2+bx=0 
  Exemplo: 
  Na equao 3x2-10x=0, temos a=3, b=-10 e c=0. 
  Observe no primeiro membro que o fator *x*  comum. 
  Podemos coloc-lo em evidncia: 
 x.`(3x-10`)=0 
  Sabemos que o produto de nmeros reais  zero somente se um dos fatores for zero. 
  Ento, do produto x.`(3x-10`)=
 =0, podemos concluir que: 
 x=0 ou 3x-10=0 
  Ou seja, x=0 ou x=10~3. 
  Portanto, as razes da equao 3x2-10x=0 so 0 e 10~3.
<63>

<R+>
<F->
Exerccios 

4. Resolva as equaes: 
a) x2-2x=0 
b) x2+5x=0  
<p>
c) 3x2-x=0  
d) 2x2+x=0 
e) -x2+4x=0 
f) -2x2-7x=0 
g) 4x2-5x=0
h) 3x2+7x=0 
i) x2~4+2x~3=0

5. Qual  o nmero? 
a) Um nmero real  tal que seu quadrado  igual ao seu quntuplo.  
b) Um nmero real  tal que o dobro do quadrado  7. 
c) Um nmero real  tal que o dobro do seu quadrado  igual  sua oitava parte.   

 Quando podemos descobrir as razes por meio da soma e do produto delas. 
<F+>
<R->
  No captulo 6, vimos que uma equao de razes *m* e *n* : 
<F->
`(x-m`)`(x-n`)=0 
x2-`(m+n`)x+mn=0 
m+n :> soma das razes
mn :> produto das razes 
<F+>
<p>
  Assim, resolvendo equaes do 2 grau da forma:
 x2-sx+p=0 
  Procuramos descobrir dois nmeros que tm soma *s* e produto *p*. Se acharmos, esses nmeros so as razes. Vejamos alguns exemplos: 
  Na equao x2-6x+5=0, temos s=6 e p=5. 
  Os dois nmeros que tm soma 6 e produto 5 so 5 e 1, pois 5+1=6 e 5.1=5. 
Logo, as razes da equao x2-6x+5=0 so 5 e 1. 
  Vamos conferir? 
 52-6.5+5=25-30+5=0 e 
  12-6.1+5=1-6+5=0 
  Em x2+9x+18=0, temos s=-9 e p=18. 
  Para dar soma negativa e produto positivo, as duas razes devem ser negativas. 
  Como `(-6`)+`(-3`)=-9 e `(-6`)`(-3`)=18, as razes so -6 e -3. 
<p>
  Confira. 
  Em x2+2x-8=0, temos s=-2 e p=-8. 
  Para dar produto negativo, as razes devem ter sinais contrrios. Sendo a soma negativa, a raiz negativa tem maior valor absoluto. 
  Como `(-4`)+2=-2 e `(-4`).2=
 =-8, as razes so -4 e 2. 
  Confira mentalmente. 
<64>
  Em x2-x-20=0, temos s=1 e p=-20. 
<R+>
 produto negativo :> razes de sinais contrrios 
 soma positiva :> a raiz positiva tem maior valor absoluto 
<R->
  Como 5+`(-4`)=1 e 5`(-4`)=
 =-20, as razes so 5 e -4. 
  Em x2+6x+4=0, temos s=-6 e p=4.
<p>
<R+>
_`[{uma menina fala para um menino: "E agora, quais os dois nmeros 
  que tm produto 4 e soma -6?" O menino responde: " difcil descobri-los mentalmente. Precisaremos utilizar outros recursos para resolver essa equao. Aguarde!"_`]

<F->
Exerccios
 
6. Descubra as razes por meio da soma e do produto delas. Confira, pelo menos mentalmente, se esto corretas, substituindo-as na equao. 
a) x2-5x+6=0   
b) x2+8x+15=0  
c) x2-6x+5=0  
d) x2-x-6=0  
e) x2-11x+28=0   
f) x2-x-12=0
g) x2+3x-10=0 
h) x2-4x-32=0  
i) x2+14x+24=0  
j) x2-`(1+2`)x+2=0 
<p>
7. A que distncia de A deve ser marcado o ponto P, de modo que o retngulo colorido tenha rea 48 m2? 
<F+>

_`[{a rea colorida foi representada por _`]
<R->

<F->
     C
      u
      l
      l 
      l  
14 m l   
      l    
      pcccc
      l_ 
      l_  
      l_-_   
      v----#----u
      A x P  B
      :::::::::o
         14 m
<R+>
<p>
<F+>
8. Em cada caso, calcule *x*, sendo dada a medida da rea colorida. 
<F->

_`[{a rea colorida foi representada por _`]
<R->

a)
<F->
      x           x
    !::::      !::::
    l_      l_
    l_ x  x l_
    l_   x  l_
2x l^cccccca_ 2x
    l_
    l_
    h::::::::::::::::j

rea =20 cm2
<F+>
<p>
<F->
b)
               3
         !::::::::::::::
   x  1 l_ 1  x
 !:::::::r::::::::!::::w:::::::
 ll_ 1 l__
 ll_    l__
xll_    l__x
 ll_    l__
 ll_    l__
 h:::::::h::::j    h::::j:::::::j
           1        1

rea =87 cm2
<F+>
<65>

<R+>
<F->
9. Os 40 alunos de uma classe sentam-se em *n* fileiras de carteiras, cada uma com n+3 carteiras. Se no sobra carteira vazia, quantos alunos h em cada fileira?  
10. Um nmero multiplicado pelo seu oposto d -8. Qual  o nmero?  
<p>
11. Resolva em _r as seguintes equaes (isto , determine as razes reais): 
a) `(2x-1`)`(x-4`)=`(7+x`)`(-x-2`)    
b) `(x+2`)2=2`(2x+3`)  
c) `(x-5`)2=2x`(x-5`)
d) 2~5=5x2~2

12. Resolva as seguintes equaes: 
a) `(x-3`)2=9 
b) 5x2+7x+1=3x2+2x+1
c) `(2x+1`)2=`(3x-1`)`(5x-1`)  
d) `(2x-3`)`(x+4`)=`(x+2`)`(5x-6`) 
<F+>
<R->

Desafio 

Kicalor 

  Calor lembra sorvete... 

<R+>
_`[{placa descrita a seguir_`]
 Sorveteria Italiana: Preparamos at 78 copinhos diferentes com duas bolas cada um. Aproveite!
<R->
<p>
  H quantos sabores diferentes de sorvete na Sorveteria 
 Italiana?  

Completando quadrados 

  Quais os dois nmeros que tm soma -6 e produto 4? So as razes da equao x2+6x+4=0. 
   difcil descobri-los mentalmente. Por isso, resolveremos essa equao empregando uma tcnica algbrica que denominamos completar quadrados. Voc se recorda dos trinmios quadrados perfeitos? Pois ento, vamos utiliz-los aqui: 
<F->
a2+2ab+b2=`(a+b`)2 
a2-2ab+b2=`(a-b`)2
<F+>
<66>
  Observe: 
<F->
x2+6x+4=0 
x2+6x=-4 
x2+6x+...=-4+... 
<F+>
  Quanto devemos adicionar a ambos os membros para que tenhamos, no 1 membro, um trinmio quadrado perfeito? Pense: 
 x2+6x+... 
<p>
  Ficar quadrado perfeito se for igual a: 
<R+>
 `(x+...`)2 que, desenvolvido, d x2+2...x+...2  
<R->
  Identifique: 
<F->
x2+6x+... 
x2+2...x+...2 
<F+>
  Devemos ter 2...=6; logo ...=3 e ...2=...=9. 
  Podemos tambm usar uma interpretao geomtrica. Observe a figura: 

<F->
       x     3
   !:::::::::::
   l       _    _
   l       _    _
 x l  x2 _ 3x_ x
   l       _    _
   r:::::::w::::w
3 l  3x  _    { 3
   l       _    {
   h:::::::j~~~~~
       x     3
<F+>

rea colorida =x2+6x 
<p>
  Para completar o quadrado, precisamos somar a rea do quadradinho de lado 3. 
  Voltemos  nossa equao: 
 x2+6x+'''=-4+''' 
 `(x+3`)2=5 
 x+3=!:-5 
 x=-3!:-5 
  Assim, os dois nmeros que tm soma -6 e produto 4 so -3+5 e -3-5. Confira! 

Exerccios

<R+>
<F->
13. Resolva as equaes, completando quadrados: 
a) x2+6x+2=0  
b) x2-10x+14=0   
c) x2-2x-2=0  
d) x2+4x-16=0 

14. Dois nmeros tm soma 4 e produto 2. Quais so eles?  
15.Prove que no existem dois nmeros reais que tenham soma 4 e produto 5. 
<F+>
<R->
<p>
<67>
A frmula de Bhaskara 

  Ainda no respondemos ao problema proposto no incio deste 
captulo: a largura da faixa, em metros,  raiz da equao 2x2+23x-39=0. 
  Vamos partir da equao ax2+bx+c=0, com a=0: 
 ax2+bx+c=0 
 ax2+bx=-c 
  Multiplicamos os dois membros por 4a: 
 4a2x2+4abx=-4ac 
  Completamos o quadrado do 1 membro: 
 4a2x2+4abx+...=-4ac+... 
 4a2x2+4abx+b2=
  =-4ac+b2 
 `(2ax+b`)2=b2-4ac 
  Caso b2-4ac seja negativo, a equao no tem soluo real. Caso b2-4ac no seja negativo, podemos extrair sua raiz quadrada. Assim: 
 2ax+b=!:-?b2-4ac* 
 2ax=-b!:-?b2-4ac* 
<p>
  Da resulta a frmula, conhecida como frmula de Bhaskara:  
 x=?-b!:-?b2-4ac**~2a 

  Na frmula de Bhaskara, o nmero b2-4ac  muito importante e, por isso, tem um nome prprio: 
 chamado discriminante da equao e  simbolizado pela letra grega ^d. Portanto: b2-4ac=^d (^d l-se "delta"). 

  A frmula tambm pode ser escrita assim: 
 x=?-b!:-^d*~2a
  Agora vamos calcular a largura da faixa. 
  Em 2x2+23x-39=0, temos a=2, b=23 e c=-39. Ento: 
<R+>
<F->
^d=b2-4ac=232-4.2.`(-39`)=
  =529+312=841 
x=?-b!:-^d*~2a=
  =?-23!:-841*~2.2=
  =?-23!:-29*~4
1 raiz: x1=?-23+29*~4=
  =6~4=3~2
<p>
2 raiz: x2=?-23-29*~4=
  =-52~4=-13
<F+>
<R->
<68>
  A equao tem duas razes, 3~2 e -13. Como a largura da faixa  uma medida positiva, ela  a raiz positiva, 3~2 (ou 1,5). Portanto, a largura da faixa  1,5 m (um metro e meio). 

Exerccios

<R+>
<F->
16. Aplique a frmula de Bhaskara para resolver as equaes: 
a) 2x2+7x+3=0
b) 6x2+5x-1=0  
c) x2-9x+19=0 

17. Faa o que se pede em cada item: 
a) O que ocorre com as duas razes da equao ax2+bx+c=0, a=0, caso se tenha b2-4ac=0? 
<p>
b) Resolva a equao x2-8x+
  +16=0. 
c) Resolva a equao 2x2-
  -22x+1=0.

18. Quantas razes reais possui a equao x2+2x+4=0?  
19. Dois nmeros tm soma 0,9 e produto 0,2. Quais so eles?  

20. Determine, se existirem, os dois nmeros reais que tm: 
a) soma 10 e produto 20;  
b) soma 10 e produto 25;  
c) soma 10 e produto 30.  

21. Maria Clara e Ana so as irms mais velhas de Maria Isabel. As idades de Maria Clara e Maria Isabel tm mdia aritmtica 12,5 anos e mdia geomtrica 12 anos. Quantos anos Maria Clara tem a mais do que Maria Isabel? 
<p> 
22. Calcule as razes reais das seguintes equaes: 
a) 1~4x2+1~3x+1~12=0
b) 1~2x2-x+4~9=0
c) 9y2-24y+16=0
d) 4x2-4x-3=0
e) t2+t-1=0
f) -x2+11x-28=0
g) 4x2+16x+15=0
h) 8x2-10x+3=0

23. Resolva cada equao: 
a) x2+5x=6 
b) x.`(x+1`)=240
c) `(x+3`)2=2x`(x+7`)
d) `(3y+2`)`(y-1`)=y.`(y+2`)
e) m2`(m-1`)=m`(m+1`)`(m+5`)

24. A equao `(x2+5`)`(x2-4`)
  `(x2-2x-3`)=0 possui quatro razes reais. Qual  a maior delas?  
25. Sob que condio vale a igualdade `(5x2-9x-2`).
  .`(2y2-7y+5`)=0? 
<69>
<p>
26. O retngulo a seguir tem rea 0,8 m2 e permetro 4,2 m. 
<F+>
<R->

<F->
!:::::::::
l         _
l         _ b metros
l         _
h:::::::::j
 a metros
<F+>

<R+>
<F->
a) Quanto vale o produto ab?  
b) Quanto vale a soma a+b?  
c) *a* e *b* so razes de que equao do 2 grau? 
d) Sendo a > b, determine *a* e *b*. 

27. Tenho material suficiente para fazer 54 m de cerca. Preciso ter um cercado retangular com 180 m2 de rea. Quanto devem medir os lados do cercado?  
28. Deseja-se aumentar igualmente todas as dimenses de um quadrado de lado 5 cm, de modo 
  que a rea do novo quadrado seja 
<p>
  24 cm2 maior que a rea do quadrado inicial. Quantos centmetros devem ser acrescidos aos lados do quadrado inicial?  
29. Determine dois nmeros inteiros e consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja 85.
30. Determine trs nmeros inteiros e consecutivos tais que a soma dos quadrados dos dois menores seja igual ao quadrado do maior deles.  

31. Um quadro tem forma retangular de dimenses externas 8050 cm. A moldura tem largura *x* uniforme. Calcule a largura, sabendo que a rea da tela  2.800 cm2. 
<F+>
<R->

<F->
!:::::::::::::
l             _
l             _ 50 cm
l             _
l             _
h:::::::::::::j
 80 cm
<F+>
<p>
Desafio 

Somando cubos d quadrado? 

  A soma dos cubos de trs inteiros consecutivos d o quadrado da 
soma deles. Quais so esses inteiros? 

Procura-se um terreno 

  Nas figuras, representamos trs terrenos retangulares que estavam  venda em uma regio. 

<F->
!::::::::::::::::
l rea 400 m2 _ 10 m
h::::::::::::::::j
     40 m

!::::::::::::::::
l                _     
l rea 525 m2 _ 15 m
l                _     
h::::::::::::::::j
     35 m
<p>
!::::::::::::::::
l                _     
l rea 600 m2 _ 20 m
l                _     
h::::::::::::::::j
     30 m
<F+>
<70>

  Os trs terrenos tm semipermetro de 50 m. As reas no so iguais. Quais devem ser as dimenses do terreno para que tenha semipermetro de 50 m e a rea de *s* m2 desejada? 
  As dimenses, em metros, devem ser os dois nmeros positivos que tm soma 50 e produto *s*; logo, razes da equao: 
 x2-50x+s=0 

Equaes literais 

  Nessa equao do 2 grau de incgnita *x* (cujas razes so as dimenses do retngulo), temos a=1, b=-50 e c=s. 
<p>
  Como ela apresenta uma letra em um dos coeficientes, dizemos que  uma equao literal. 
  Numa equao literal, as letras que aparecem nos coeficientes so denominadas parmetros. 
Em nosso exemplo, o parmetro  *s*, que representa a rea do retngulo. 
  As razes da equao dependem do valor de parmetro. Vamos ach-las: 
<F->
^d=b2-4ac=`(-50`)2-4.1.s=
  =2.500-4s=4`(625-s`)
x=?-b!:-^d*~2a=
  =?50!:-2?625-s**~2=
  =25!:-?625-s*
<F+>
  Portanto, as dimenses do terreno so dadas, em metros, por: 
 25+?625-s* e 25-?625-s* 
  Observe novamente os trs retngulos desenhados nas pginas 152 e 153. 
<R+>
 No primeiro, a rea  s=400 m2. As dimenses, em metros, so: 
<R->
<F->
<p>
25+?625-400*=25+225=
  =25+15=40 e 25-
  -?625-400*=25-225=
  =25-15=10 
<F+>
<R+>
 No segundo, a rea  s=525 m2. As dimenses, em metros, so: 
<R->
 25+?625-525*=25+100=
  =25+10=35 e 25-
  -?625-525*=25-100=
  =25-10=15 
<R+>
 No terceiro, a rea  s=600 m2. As dimenses, em metros, so: 
<R->
<F->
25+?625-600*=25+25=
  =25+5=30 e 25-
  -?625-600*=25-25=
  =25-5=20 
<F+>
  Ou seja, os valores das razes da equao dependem do parmetro dado. 
<71>
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
32. No exemplo do texto, pense e responda: 
a) Se quisssemos rea de 624 m2, quais seriam as dimenses?  
b) Qual o valor mximo da rea que pode ser usado no clculo das dimenses? Por qu? Nesse caso, quais seriam as dimenses do terreno?  

33. Resolva cada equao na incgnita *x*: 
a) x2-2px+p2=0 
b) 6x2-5mx+m2=0 
c) x2-2kx=0  

34. O sr. Antnio comprou arame suficiente para cercar uma rea retangular de 200 m de permetro, em que plantou verduras e legumes. 
a) Quais devem ser as dimenses da horta para que tenha rea de *s* m2? 
<p>
b) Qual a rea mxima da horta? 
c) Quais as dimenses para conseguir a rea mxima?  

35. De todos os retngulos de rea 400 m2, precisamos determinar aquele que tem permetro conhecido igual a 2p metros. 
a) Quais as dimenses do retngulo desejado? 
b) Quais as dimenses no caso de permetro de 100 m? 
c) Podemos ter permetro de 50 m? Por qu?   
d) Qual o valor mnimo do permetro?  

36. O tringulo {a{b{c deve ter rea de *s* cm2, sendo *s* um nmero conhecido.  
a) Calcule *h*, usando *s* na resposta. Lembre que h >0. 
b) Calcule *h* em cada caso: 
 s=12  
 s=4  
<p>
 s=1,5  
 s=0,625  
<F+>
<R->

<F->
            A
            '
           # 
          _  
          _   
          _    
          _     
          _h cm  
          _       
          __-      
B -------#---------u C
    2 cm     h cm
<F+>

<R+>
<F->
37. Dada a equao literal de incgnita *x*: 
3mx2-`(m2+6`)x+2m=0 
a) Para que valor de *m*  uma equao do 1 grau? Nesse caso, qual  a raiz?  
b) Para que valores de *m*  equao do 2 grau? Nesse caso, quais so as razes?  
<p>
38. Dada a equao literal de incgnita *x*: 
`(m-1`)x2-m2x+`(m+1`)=0 
a) Para que valor de *m* ela  uma equao do 1 grau? Nesse caso, qual  a raiz?  
b) Para que valores de *m* ela  equao do 2 grau? Nesse caso, quais so as razes?  
c) Qual  a maior raiz, se m=9.999?  
<F+>
<R->
<72>

Quantas razes? 

<F->
<R+>
_`[{observando as equaes a seguir, um professor fala para a 
  sua turma: "Pessoal, vejam estas equaes. Sem resolver, quantas razes reais distintas cada uma tem?"_`]
3x2-7x!2=0
4x2!44x!121=0
3x2!2x!4=0

distintos: diferentes.
<R->
<F+>
<p>
   Quando deduzimos a frmula de Bhaskara, partimos de ax2+
 +bx+c=0, a=0, e obtemos
`(2ax+b`)2=^d, sendo ^d=b2-
 -4ac. O nmero ^d pode assumir trs diferentes possibilidades: 
<R+>
 ^d <0 :> como nenhum nmero real elevado ao quadrado d resultado negativo, conclumos que a equao no possui raiz real. 
 ^d=0 :> temos `(2ax+b`)2=0; logo, 2ax+b=0 e x=-b~#b~a. Nesse caso,  raiz da equao apenas um nmero real, -b~#b~a. 
 ^d >0 :> obtemos as duas razes reais:
<R->
 x1=?-b+^d*~2a e x2=
  =?-b-^d*~2a 
  Que so nmeros distintos. 
  Note que, se ^d=0, temos x1=x2=-b~#b~a. Por isso, tambm dizemos que, nesse caso, a equao tem duas razes reais iguais.
  Resumindo, temos: 
<p>
  Quando ^d <0, a equao do 2 grau no tem razes reais. 
  Quando ^d=0, a equao do 2 grau admite um nico nmero real como raiz (ou tem duas razes reais iguais). 
  Quando ^d >0, a equao do 2 grau tem duas razes reais distintas. 
  
  Vamos responder  pergunta sobre as razes das equaes apresentadas, no incio do texto: 
  Em 3x2-7x+2=0, temos 
 a=3, b=-7 e c=2. 
 ^d=b2-4ac=`(-7`)2-4.3.2=
  =49-24=25 
  Como ^d >0, a equao possui duas razes reais distintas. 
  Em 4x2+44x+121=0, temos a=4, b=44 e c=121. 
 ^d=442-4.4`.121=1.936-
  -1.936=0 
<p>
  Como ^d=0, s um nmero real  raiz (ou as duas razes so reais e iguais). 
  Em 3x2+2x+4=0, temos a=3, b=2 e c=4. 
 ^d=22-4.3.4=4-48=-44 
  Como ^d <0, a equao no possui razes reais.
<73>
 
Exerccios

<R+>
<F->
39. Determine quantas razes reais distintas tem cada equao, sem resolv-la: 
a) x2+7x+5=0  
b) 4x2+x-1=0    
c) x2-10x+25=0    
d) x2+x+1=0 
e) 9x2-42x+49=0
f) x2-3x+3=0

40. Quais das equaes a seguir admitem duas razes reais diferentes? E duas razes reais iguais? 
a) 7x2-6x+1=0  
b) `(x+3`)2=5`(2-x`)  
<p>
c) `(x+1`)2+`(x-2`)2=4 
d) 9+12x+4x2=0 
e) x2=x+1
f) 9x2=x-1
g) `(2x+1`)2=`(x+3`)2 
h) `(2x+3`)`(3x+2`)=5x 

41. A equao 2x2+kx+2=0 possui duas razes reais e iguais para que valores de *k*?  
42. A equao x2+4x+a=
  =0 no possui razes reais para que valores de *a*?  
43. Para que valores de *m* a equao mx2-2`(m+1`)x+`(m+5`)=
  =0 possui duas razes reais e distintas? 
44. Para que valores de *m* a equao 3x2-x-2m=0 possui razes reais?  
45. Obtenha *m* para que a equao x2-5x-`(m+1`)=0 tenha duas razes reais e desiguais.  
<p>
46. Faa o que se pede nos itens a seguir: 
a) Para que valores reais de *m* a equao x2-mx+m2~4=0 admite razes reais?  
b) Resolva a equao.  
<F+>
<R->

Desafio 

Resposta matemtica 

  Ao ser indagado sobre sua idade, um matemtico do sculo XIX deu a resposta a seguir. 
  Quantos anos tinha o matemtico? Em que ano ocorreu esse dilogo? 
 
<R+>
_`[{o matemtico fala: "Minha idade  a raiz quadrada do ano em que nasci."_`]
<R->
<74> 

Soma e produto das razes 

  Numa equao como x2-8x+
 +15=0 j sabemos que a soma das razes  8 e que o produto delas 
<p>
 15. Usamos esse dado para descobrir as razes (5 e 3) sem precisar recorrer  frmula. 

  Na equao x2-sx+p=0, a soma das razes  *s* e o produto  *p*. 

  E numa equao como 5x2-7x-
 -6=0, ser que podemos descobrir a soma e o produto das razes antes de resolv-la? 
  A resposta  sim. Para isso, temos que fazer com que o coeficiente *a* seja um. Isso  feito dividindo a equao dada por 5; obtemos, ento, outra equao, x2-7~5x-6~5=0, que tem as mesmas razes. Logo, a soma das razes  7~5, e o produto  -6~5. 
  Dada uma equao do 2 grau, ax2+bx+c=0, a=0, dividindo-a por *a* obtemos x2+b~ax+
 +c~a=0. Como essas equaes possuem as mesmas razes, podemos concluir que: 
<p>
  A soma das razes  -b~a. 
  O produto das razes  c~a. 
 
  Vamos confirmar? Pela frmula de Bhaskara as razes so: 
 x1=?-b+^d*~2a e x2=
  =?-b-^d*~2a
  Calculemos a soma: 
 x1+x2=?-b+^d*~2a+
  +?-b-^d*~2a=
  =?-b+^d-b-^d*~#b~a=
  =-2b~2a=-b~a 
  Agora calculemos o produto: 
 x1x2=?`(-b+^d`)*~#b~a.
  .?`(-b-^d`)*~#b~a=
  =?b2-^d*~4a2=
  =?b2-b2+4ac*~4a2=
  =4ac~4a2=c~a 
  Em 5x2-7x-6=0, temos a=5, b=-7 e c=-6. Ento: 
 soma :> x1+x2=-b~a=
  =-`(-7`)~5=7~5
 produto :> x1.x2=c~a=
  =`(-6`)~5=-6~5  
<p>
  Mesmo conhecendo a soma e o produto das razes, muitas vezes  
difcil descobri-las, no ? Por isso, a frmula de Bhaskara  imprescindvel. 
<75> 
  Agora veja esta: 
<F->
x2-4x+6=0 
soma das razes :> s=4 
produto das razes :> p=6 
^d=`(-4`)2-4.1.6=16-24=-8 
<F+>
  Portanto, ^d <0. A equao no possui razes reais! 
  No ensino mdio voc aprender que essa equao possui duas razes no reais (sero chamadas nmeros complexos) e que elas tm exatamente soma 4 e produto 6. 

  Os nmeros complexos foram criados para que existissem nmeros que, elevados ao quadrado, dessem resultado negativo.
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
47. Sem resolver, d a soma e o produto das razes de cada equao. 
a) 3x2+5x+2=0 
b) 2x2+11x-1=0  
c) 9x2-6x+1=0 
d) 7x2-5x-3=0  
e) -2x2-11x-15=0 
f) 11x2-7=0  
g) 8x2+5x=0
h) x+1=2x2 
i) x2-x=2  
j) x`(x-2`)=8`(x-1`) 

48. Sendo *p* e *q* as razes da equao x2-x-5=0, calcule o valor de `(p+q`)2pq. 

49. Sendo x1 e x2 as razes da equao 5x2-7x-11=0, calcule o valor de cada uma das expresses: 
a) x1+x2 
b) x1.x2 
c) 1~x1+1~x2  
d) `(1+x1`)`(1+x2`)
<p>
50. Sendo x1 e x2 as razes da equao x2+3x-1=0, calcule x1~x2+x2~x1+2. 

51. Dada a equao literal de incgnita *x*: 
2x2+`(k-4`)x+`(6k-2`)=0 
a) para que valor de *k* as razes tm soma 11?
b) para que valor de *k* as razes tm produto 11?  
c) para que valor de *k* o nmero 0  raiz?
d) para que valor de *k* o nmero 1  raiz?  
e) se o nmero 2  raiz, qual  a outra raiz?  
f) se a soma das razes  2, quais so elas? 

52. Determine o valor de *m*, de modo que: 
a) as razes da equao do 2 grau 4x2+`(m-2`)x+`(m-5`)=0 tenham soma 7~2; 
<p>
b) as razes da equao do 2 grau 3mx2-`(m+1`)x+`(3m-2`)=0 tenham produto 5~3;  
c) as razes da equao do 2 grau mx2-`(5m+2`)x+4=0 sejam nmeros opostos. 
<76>

53. A equao literal de incgnita *x*:
`(m+1`)x2+`(m2+1`)x-20=0
  Admite a raiz -5. 
a) Calcule *m*. 
b) Qual  a outra raiz? 
<F+>
<R->
 
Forma fatorada do trinmio do 
  2 grau 

  J sabemos fatorar um trinmio da forma x2-sx+p em que descobrimos dois nmeros, x1 e x2, de soma *s* e produto *p*. Nesse caso, a forma fatorada : 
 `(x-x1`)`(x-x2`) 
  Os nmeros x1 e x2 so as razes da equao x2-sx+p=0. 
<p>
  Como fatorar, por exemplo, 3x2-2x-1? 
  Vamos comear colocando 3 em evidncia: 
 3x2-2x-1=3 
  `(x2-2~3x-1~3)=
  =3`(x-x1`)`(x-x2`)
  Sendo x1 e x2 as razes de x2-2~3x-1~3=0, que tambm so as razes de 3x2-2x-1=0.
  Resolvendo a equao, temos: 
 ^d=`(-2`)2-4.`(3`).`(-1`)=
  =4+12=16 
<F->
x=?2!:-16*~6=?2!:-4*~6
x1=1
x2=-1~3
<F+>
  Logo, a forma fatorada de 3x2-2x-1 : 
 3`(x-1`)`(x+1~3`)
  Ou ainda: 
 `(x-1`)`(3x+1`) 
  Resumindo, temos: 

  A forma fatorada de ax2+bx+c : 
 a`(x-x1`)`(x-x2`) 
  Isto : 
<p>
 ax2+bx+c=a`(x-x1`)`(x-x2`) 
  Sendo x1 e x2 as razes de ax2+bx+c=0, com a=0. 
  Caso ^d=b2-4ac <0, o trinmio ax2+bx+c no  fatorvel em _r. 
<77>

Exerccios

<R+>
<F->
54. Fatore os seguintes trinmios: 
a) x2-7x+10 
b) x2+4x+3  
c) x2-5x-6  
d) 3x2-7x+2 
e) 4x2+8x+3 
f) 5x2+13x-6  
g) 2x2-20x+50 
h) 3x2-6x+3  
  Lembre-se: Para conferir se a fatorao est correta  s efetuar a multiplicao. 

55. Considerando vlidas as condies de existncia (denominador =0), simplifique as se-
<p>
  guintes fraes algbricas. (Lembre-se de que primeiro  necessrio fatorar o numerador e o denominador da frao.) 
a) ?x-1*~?x2-3x+2*
b) ?x2-4*~?x2-5x+6*
c) ?x2-10x+25*~
  ~?5x2-26x+5*
d) ?x3-2x2*~
  ~?x3-5x2+6x*

56. Monte uma equao do 2 grau de coeficientes inteiros que tenha como razes: 
a) -1 e -2~3 
b) 1~4 e 3~4
c) 4~7 e -2~7
d) 3~5 e 5~3 

57. Monte uma equao literal cujas razes sejam *a* e #b~a. 

58. Monte uma equao do 2 grau:  
a) que tenha uma nica raiz real; 
b) que no tenha razes reais. 
<p>
59. Quais os polinmios que no so fatorveis em _r?  
a) x2-1   
b) x2+1  
c) x2+x
d) x2+x+1
e) x2+2x+1
f) x2+2x+4 
<F+>
<R->

Desafio 

Concurso inteligente 

  Jacira participa de um programa de televiso cujo apresentador escondeu um prmio no interior de uma das trs caixas. 
  Sabendo-se que s uma das trs indicaes  correta, em qual caixa se encontra o prmio?
<p>
<R+>
_`[{a seguir, indicao de cada caixa_`] 
<R->
<F->
<R+>
Caixa 1: Est aqui;
Caixa 2: No est aqui;
Caixa 3: No est na caixa de nmero 1.
<R->
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<78>
Captulo 8- Equaes redutveis
   equao do 2 grau  

Um quadrado sem os cantos 

  De um quadrado de lado *l* vamos retirar quatro quadradinhos de lado 1~l, um de cada canto. Queremos ficar com uma rea de 7,5 cm2. 

<F->
     !::::::::::::!:
     l _           l _
     r:j           h:w
     l               _
     l               _
     l               _
     r:           !:w
     l _           l _ 1~l
     h:j:::::::::::h:j
             l
<F+>

  Quanto deve medir *l*? 
  A rea desejada  a diferena entre a rea do quadrado original, l2, e a dos quatro quadradinhos 
<p>
retirados, 4.`(1~l`)2. Ento, devemos ter: 
<F->
l2-4`(1~l`)2=7,5
l2-4.1~l2=7,5
l4-4=7,5l2
l4-7,5l2-4=0
<F+>

Equaes biquadradas 

  No problema anterior, temos uma equao biquadrada na incgnita *l*. Definimos: 

  Chama-se equao biquadrada na incgnita *x* toda equao que pode ser colocada na forma: 
ax4+bx2+c=0 
  Em que *a*, *b* e *c* so nmeros reais e a=0. 

<R+>
_`[{uma menina fala: "E como resolvemos uma equao biquadrada?"_`]
<R->
 
  Para resolver esse tipo de equao, precisamos fazer uma mudana de varivel. 
<p>
  Em nosso exemplo, fazemos l2=y; portanto, l4=`(l2`)2=
 =y2. A equao fica: 
y2-7,5y-4=0 
  Recamos, assim, numa equao do 2 grau. 
  Vamos resolv-la: 
<F->
^d=`(-7,5`)2-4.1.`(-4`)=
  =56,25+16=72,25
y=?7,5!:-72,25*~?2.1*=
  =?7,5!:-8,5*~2
y1=16~2=8
y2=-1~2=-0,5
<F+>
<79>
  Como l2=y, vem que: 
 l2=8 :> l=!:-8=!:-22 
  ou l2=-0,5 (que  imposs-
  vel) 
  Por ser *l* a medida do lado, deve ser um nmero positivo. Logo, a soluo  l=22 cm. 

Exerccios

<F+>
<R+>
60. Calcule *l* sabendo que a rea colorida  de 12,5 cm2.  
<p>
_`[{a rea colorida foi representada por _`]
<R->

<F->
     1~l        1~l
     !::::::::::::::
     l_          __ 1~l
     r::w::::::::::w::w
     l  __  _
   l l  __  _
     l  __  _
     l  __  _
     r::w::::::::::w::w
     l_          __ 1~l
     h::j::::::::::j::j
            l
<F+>

<R+>
61. A rea colorida na figura a seguir  de 3,25 cm2. Calcule *l*. 
<R->
<p>
<R+>
_`[{a rea colorida foi representada por _`]
<R->

<F->
<F->
     !::::::::::::
     l          __ 1~l
     r::::::::::w::w
     l_  _
   l l_  _
     l_  _
     l_  _
     h::::::::::j::j
          l    1~l
<F+>

<R+>
62. A medida em centmetros da base de um retngulo  a soma de um nmero real com seu inverso. A da altura  a diferena entre o mesmo nmero e seu inverso. Qual  esse nmero se a rea do retngulo  de 4,8 cm2?  
<R->

<F->
     !:::::::::::::
     l             _
     l             _ x-1~x
     l             _
     l             _
     h:::::::::::::j
        x+1~x
<p>
<R+>
63. Resolva cada equao: 
a) 9x4-13x2+4=0 
b) x4-18x2+32=0
c) x4-5x2+6=0  
d) x4+10x2+9=0   
e) m4=m2+12  
f) `(t2+2t`)`(t2-2t`)=45 

64. Forme uma equao biquadrada cujas razes sejam 1, -1, 5 e -5.  

65. As duas figuras a seguir tm rea colorida de 8,5 cm2. Na primeira, *l* >1~l. Na segunda, *l* <1~l. Calcule *l* em cada uma delas. 
<p>
_`[{a rea colorida foi representada por _`]
<R->
<F+>

<F->
      !::::::::::::::
1~l l_          __ 
      r::w::::::::::w::w
      l  __  _
      l  __  _
 l    l  __  _
      l  __  _
      r::w::::::::::w::w
1~l l_          __ 
      h::j::::::::::j::j
      1~l   l    1~l
<F+>

<F->
      !::::::::::
      l_  __ 
1~l l_  __ 
      l_  __ 
      r::::w::w::::w
 l    l    __    _
      r::::w::w::::w
      l_  __ 
1~l l_  __ 
      l_  __ 
      h::::j::j::::j
      1~l  l 1~l
<F+>
<80>
<p>
Desafio 

Mudando de varivel 

  Com muita ateno e cuidado com a pegadinha, resolva: 

<R+>
_`[{a seguir, o repente de dois repentistas_`]
<R->
<F->
<R+>
1: Se x!1~x=y, quanto  x2!1~x2?
2: Se x2+x+1~x+1~x2=
  =1,75, quanto  *x*?
<R->
<F+>

As medidas do logotipo 

  Na figura _`[no representada_`], desenhamos o logotipo de uma empresa, formado por trs quadrados, sendo dois do mesmo tamanho. Se o permetro total  de 12 cm e a rea total  de 3,375 cm2, quais so as medidas dos lados dos quadrados? 
<p>
Sistemas de equaes 

  Para resolver esse problema, temos que considerar duas incgnitas: 
<R+>
<F->
x= lado dos quadrados menores (em cm) 
y= lado do quadrado maior (em cm) 
<F+>
<R->
  Vamos montar as equaes a que *x* e *y* devem satisfazer: 
<R+>
<F->
 permetro =12 cm :> 8x+4y=12 :> 2x+y=3 
 rea =3,375 cm2 :> 2x2+y2=3,375 
<F+>
<R->
  Temos, ento, o sistema de equaes: 
<R+>
 2x+y=3 e 2x2+y2=3,375 
<R->
<80>
  Para resolv-lo usamos o mtodo da substituio: isolamos uma incgnita na primeira equao e a substitumos na segunda equao. 
 1 equao: 2x+y=3 :> y=3-2x 
 2 equao: 2x2+y2=3,375 
  :> 2x2+`(3-2x`)2=3,375 
  :> 6x2-12x+5,625=0 
<p>
 ^d=`(-12`)2-4.6.5,625=144-
  -135=9 
 x=?12!:-9*~?2.6*=
  =?12!:-3*~12
<F->
x1=1,25  
x2=0,75 
<F+>
  Agora calculamos *y* na primeira equao. 
  Para x=1,25: y=3-2x=3-2.
 .1,25=3-2,5=0,5. Essa resposta no convm, pois *y* deve ser maior que *x*. 
  Para x=0,75: y=3-2x=3-2.
 .0,75=3-1,5=1,5. 
  Portanto, o lado dos quadrados menores mede 0,75 cm e o do quadrado maior mede 1,5 cm. 

Exerccios

<R+>
66. Nesta figura, os dois quadrados maiores so iguais. O permetro total  16 cm e a 
<p>
  rea total  5,5 cm2. Quanto medem os lados dos trs quadrados? 
<R->

_`[Figura no representada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
67. Franca  uma cidade do interior do estado de So Paulo, famosa pela indstria de calados. De Franca at a cidade de Guaruj, no litoral paulista, so 504 km. Caminhando *x* quilmetros por dia, um andarilho percorreu esses 504 km em *n* dias. Na volta, caminhou 8 quilmetros a menos por dia e levou 4 dias a mais que na ida. 
a) Em quantos dias ele fez o percurso de ida e volta?  
b) Quantos quilmetros por dia caminhou na ida? E na volta?  
c) Em mdia, na viagem toda, quantos quilmetros caminhou por dia?  
<p>
68. A figura  um "L" _`[no sistema comum de escrita_`], formado de dois quadrados, cujas reas somam 169 cm2, e um retngulo de rea 60 cm2. 
<F+>
<R->

<F->
!::::
l    _
l    _
r::::w::
l    _  _
h::::j::j
<F+>

<R+>
  Calcule o permetro total do "L". 
<R->
<82>

<R+>
<F->
69. Observe a figura a seguir. 
  Esse "H" _`[no sistema comum de escrita_`] tem permetro (externo) de 28 cm e rea de 24 cm2. Calcule *x* e *y*.
<F+>
<R->
<p>
<F->
     x       x
   !:::   $:::
   l   _   _   _
   l   _   _   _
   l   _ x _   _
   l   $:::$   _
y  l x {   { x _ y
   r   :::   _
   l   _ x _   _
   l   _   _   _
   l   _   _   _
   h:::j   :::j
     x       x
<F+>

<R+>
70. Na figura, *x* > *y*. Calcule *x* e *y* sabendo que x2+y2=102 e x-y=2.  
<R->
<F->
<p>
                     A
                    'k
                  'a k 
                'a   k  
            x 'a     k    y
            'a       k    
          'a         k     
        'a           k 4,8 
      'a             k       
    'a               k_-      
Bu-----------------u---------uC
  <::::::::::::::::::::::::::::>
                 10

<F+>
<R+>
<F->
71. Os *n* condminos de um prdio deveriam pagar *p* reais cada um para cobrir uma despesa de R$1.500,00. Como 10 condminos no concordaram em pagar, cada um dos outros acabou dando R$5,00 a mais para cobrir toda a despesa. 
a) Quantos condminos tem o prdio? Quanto cada um teria pago se todos tivessem concordado em pagar?  
<p>
b) Quantos condminos pagaram? Quanto pagou cada um deles?  

72. Resolva os sistemas: 
a) x2+y2=5 e x2-y2=1
b) x2+y2=13 e x.y=6
<F+>
<R->

Trabalho em equipe 

  Duas mquinas, trabalhando juntas, terminam um servio em 2 h 24 min. 
  Quanto tempo gasta cada mquina para fazer sozinha o servio, se uma leva 2 h a mais que a outra? 
<83>
  Se a mquina mais rpida leva *t* horas para fazer sozinha o servio, a outra sozinha leva t+2 horas. Juntas, levam 2 h 24 min, que  o mesmo que 2,4 h. Em 1 hora, as produes so: 
<R+>
 da mais rpida: 1~t do servio; 
 da outra: 1~?t+2* do servio;
 juntas: 1~2,4 do servio. 
<R->
  Conclumos que 1~t+
 +1~?t+2*=1~2,4. 
<p>
Equaes fracionrias 

  No exemplo anterior temos uma equao fracionria, assim denominada porque contm termos que so fraes algbricas. J estudamos essas equaes no 8 ano. 
  Recordemos que na resoluo dessas equaes devemos: 
<R+>
 estabelecer as condies de validade (denominador =0); 
 verificar se as razes encontradas obedecem s condies estabelecidas. 
<R->
  Em 1~t+1~?t+2*=1~2,4, devemos ter t=0 e t+2=0 (logo, t=-2). 
  Alm disso, no problema, *t* representa um nmero positivo;  o nmero de horas gasto pela mquina mais rpida para fazer sozinha todo o servio. 
  Temos: 
<p>
 1~t+1~?t+2*=1~2,4 
  <:> ?2t+2*~?t`(t+2`)*=
  =1~2,4 <:> t`(t+2`)=
  =2,4`(2t+2`) <:> t2+2t=
  =4,8t+4,8 <:> t2-2,8t-
  -4,8=0
 ^d=`(-2,8`)2-4.1.`(-4,8`)=
  =7,84+19,2=27,04
 t=?2,8!:-?27,04**~2=
  =?2,8!:-5,2*~2
<F->
t1=4
t2=-1,2 (no convm)
<F+>
  Logo, a mquina mais rpida leva 4 h para completar sozinha o servio. A outra leva duas horas a mais; portanto, 6 h.
 
Exerccios

<R+>
<F->
73. Dois guindastes, trabalhando juntos, descarregam um navio em 6 horas. Sabendo-se que um deles pode levar 5 horas a menos que o outro para descarregar o navio, quantas horas levaria cada um trabalhando separadamente? 
<84>
<p>
74. Determine dois nmeros pares consecutivos sabendo que a soma de seus inversos  0,225. 

75. Resolva as equaes: 
a) 2x~?x-1*+3~?x-3*=
  =?x+3*~?`(x-1`)`(x-3`)*
b) ?x+7*~?x+2*+
  +?x-3*~?x-2*=5
c) 2~x+1~?x-3*=6~?x2-9*
d) ?x+1*~?x+3*+1~?x-3*=
  =?x2-x+1*~?x2-9*

76. Renato, que possui um automvel bicombustvel, abasteceu o tanque com R$24,00 de lcool e R$24,00 de gasolina. Ao todo, colocou 25 litros de combustvel. O preo do litro da gasolina era R$0,80 a mais do que o do lcool. Qual era o preo do litro de lcool? 

77. Papai Noel gastou R$400,00 na compra de bolas para distribuir no dia de Natal. Com um desconto de 
<p>
  R$4,00 em cada uma, teria comprado 5 bolas a mais, gastando os mesmos R$400,00. Quantas bolas ele comprou? Agora, resolva esse problema de dois modos: 
a) Monte uma equao em que a incgnita  o nmero de bolas que Papai Noel comprou. Resolva-a.
b) Monte um sistema de duas equaes, cujas incgnitas sejam: x= nmero de bolas compradas e y= preo de cada bola. Calcule *x* nesse sistema.

78. Resolva cada equao: 
a) ?5x+3*~?4x-3*=
  =?4x-3*~?5x+3* 
b) x2~?x-3*=12
c) 1~2x+x=?x+2*~4x
d) x~?x-2*+x~?x-8*=1
<F+>
<R->
<p>
Desafio 

Ciclista gozador 

  O vencedor de uma prova de ciclismo -- num percurso de 120 km -- foi entrevistado por vrios reprteres. Ao lhe perguntarem qual velocidade ele havia desenvolvido no seu trajeto, respondeu: "Se eu tivesse andado 4 km/h mais rpido do que andei, teria chegado uma hora antes!" 
  Ajude os reprteres: qual foi a velocidade?  
<85>

A raiz aumenta pouco 

   preciso adicionar 101 a um certo nmero para que a raiz quadrada dele aumente apenas 1. Que nmero  esse? 

<R+>
_`[{figura no representada_`]
<R->

  Representando por *x* esse nmero, a sua raiz quadrada  x. 
<p>
Adicionando 101 a *x*, ficamos 
com x+101, e a raiz quadrada agora  ?x+101*. Como a raiz aumenta apenas de 1, chegamos  equao: 
 ?x+101*=x+1 

Equaes irracionais 

  No problema anterior, recamos numa equao irracional, assim chamada por apresentar a incgnita sob radical. 

  Equao irracional  uma equao em que h incgnita em um ou mais radicais.
 
  Quando vamos resolver uma equao irracional, somos obrigados a eliminar os radicais para poder calcular o valor satisfatrio para a incgnita. 
  A eliminao dos radicais  feita por meio da elevao dos dois membros da equao a um mesmo expoente. 
<p>
  Vamos resolver a equao 3?x+4*=4. 
  Elevando ambos os membros ao cubo, obtemos: 
<F->
`(3?x+4*`)3=`(4`)3
x+4=64
x=64-4=60
<F+>
  Verificando na equao inicial: 
<F->
3?60+4*=4
364=4 (verdadeiro)
<F+>
  A raiz da equao  60. 
<86>
  Vejamos outro exemplo: 
 ?x+1*=x-1 
  Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos: 
<F->
`(?x+1*`)2=`(x-1`)2
x+1=x2-2x+1
3x-x2=0
x`(3-x`)=0
x=0 ou 3-x=0
x=0 ou x=3
<F+>
  Verificando na equao: 
<F->
x=0 :> ?0+1*=0-1 :> 1=
  =-1 (falso)
x=3 :> ?3+1*=3-1 :> 4=
  =2 (verdadeiro)
<F+>
  Apenas x=3  soluo. 
<p>
  Quando tomamos uma equao e elevamos os membros a um determinado expoente, acabamos por obter outra equao. 
  A segunda equao admite todas as razes da primeira e pode admitir mais outras, que no so razes da primeira. 
  Dessa forma, ao resolver uma equao irracional, devemos testar cada raiz encontrada na equao inicial e eliminar as que no servem. 
  No 2 exemplo, a raiz 0  eliminada; apenas o nmero 3  raiz da equao dada. 
  Voltemos  equao do problema proposto: 
 ?x+101*=x+1
  Elevando ao quadrado ambos os membros: 
 `(?x+101*`)2=`(x+1`)2
<F->
x+101=x+2x+1
100=2x
x=50
<F+>
<p>
  Elevando novamente ao quadrado: 
<F->
`(x`)2=`(50`)2
x=2.500
<F+>
  Verificando na equao inicial: 
<F->
?2.500+101*=2.500+1
2.601=50+1
2.601=51 (verdadeiro)
<F+>
  Portanto, a resposta do problema  o nmero 2.500. 
<87>

Exerccios

<R+>
<F->
79. So quatro nmeros pares positivos consecutivos. Adicionando 1  mdia geomtrica do menor e do maior, obtemos a mdia aritmtica dos dois do meio. Quais so esses quatro nmeros?  
n; n+2; n+4; n+6. 
80.  raiz quadrada de um nmero *x* soma-se 1.  raiz quadrada dessa soma adiciona-se 2 e extrai-se a raiz quadrada do resultado, obtendo-se o nmero 3. Calcule o nmero *x*.  
<p>
81. Dois nmeros pares positivos e consecutivos tm mdia geomtrica 122. Qual  o maior deles?  
82. Obtenha um nmero real que, somado  sua raiz quadrada, d 14~25.
83. Resolva as equaes: 
?3x+1*=5; x+?5-2x*=1.
84. Dois nmeros pares consecutivos, positivos, tm mdia geomtrica igual a 45. Quais so eles? 
85. Um quadrado tem rea *s*. Calcule o seu permetro sabendo que ?s+16*=1+s. 
86. Resolva as equaes: 
 x+?5+x*=5; ?x+4*-
  -?x+2*=2.  
<F+>
<R->

Desafio 

<R+>
Facilite a resoluo mudando a varivel 
<R->
 
  Quantas e quais so as razes da equao? x2+x+?x2+x+10*=
 =10
<88>
<p>
Matemtica em notcia

Entre jovens brasileiros, 66% 
  esto acima do peso 

  Mais da metade da populao brasileira `(51%`) est acima de seu peso ideal. Uma pesquisa da Sociedade Brasileira de Cirurgia Baritrica e Metablica (SBCBM) -- realizada em todas as regies do Pas com 2.179 pessoas -- revela um dado ainda mais preocupante: entre as pessoas de 18 a 25 anos, esse ndice  de 66%. 

<R+>
_`[{grfico adaptado. As informaes obedecero a seguinte sequncia_`]
<R->
<F->
<R+>
categoria; nmero de pessoas; IMC
abaixo do peso; 5%; menor que 18,5
normal; 32%; 18,5 a 24,9
<p>
sobrepeso; 51%; 25 a 29,9
obesidade leve; 8,5%; 30 a 34,9
obesidade moderada; 0,6%; 35 a 39,9
obesidade mrbida; 3%; maior que 39,9
<R->
<F+>

  Como calcular o IMC: 
 peso (kg) ~ altura 2 (m).

<R+>
<F->
Exemplo 1:
peso 71 kg; altura 1,70 m
71~1,702=24,5
Exemplo 2:
peso 130 kg; altura 1,70 m
130~1,702=44,9
Com sobrepeso :> 58% apresentam problemas de sade:
27% hipertenso;
14% doenas nas articulaes;
10% depresso.

(*O estado de S. Paulo*, 5/1/2008.) 
<89>
<p>
Uns quilinhos a mais no fazem mal
<R->
<F+>

  O ideal  manter-se um pouco acima do peso, indicou a mais rigorosa pesquisa sobre os efeitos da obesidade j realizada nos Estados Unidos.  no grupo dos levemente obesos que ocorre a menor prevalncia de mortes. A constatao dividiu os especialistas. Alguns deles acreditam que o sobrepeso pode ser o primeiro passo para a obesidade.
  ndice de massa corprea (IMC).
<R+>
<F->
IMC = peso (em quilos) ~ 
  ~ altura 2 (em metros)
<F+>
<R->
  Mortalidade por faixa de peso comparada s mortes no grupo de pessoas com peso normal.
<R+>
<F->
Abaixo do peso: menor que 18,5; o nmero de mortes  1,5% maior.
Peso normal: entre 18,5 e 25; o nmero de referncia.
<p>
Acima do peso: entre 25 e 30; o nmero de mortes  3,7% menor.
Gordo: entre 30 e 35; o nmero de mortes  1,3% maior.
Obeso: acima de 35; o nmero de mortes  3,5% maior. 

(*Veja*, 27/4/2005.)
  
a) Segundo a pesquisa publicada no jornal *O Estado de S. Paulo*, quanto por cento da populao brasileira est acima do peso considerado normal?  
b) Quanto por cento da nossa populao est na faixa com menor nmero de mortes, segundo a pesquisa publicada na *revista 
  Veja*?  
c) Que cuidados deve ter a pessoa com IMC entre 25 e 30?  
d) Para ter IMC entre 20 e 30, quanto deve pesar uma pessoa de 1,75 m?  
e) Calcule o seu IMC. Se estiver abaixo de 18,5 ou acima de 30, fale com seus pais e procure orientao mdica. 
<p>
Teste seu conhecimento

1. Uma escrivaninha  coberta por um vidro retangular de rea 1,28 m2. Se o comprimento do vidro  o dobro da largura, ento o seu permetro, em metros,  igual a:
a) 2,40 
b) 3,20  
c) 3,60
d) 4,80 

2. A maior raiz da equao: 
x2-`(2,333...`)x+`(1,333...`)=0
a) 1
b) 4~3
c) 5~3 
d) 2

3. A diferena entre a maior e a menor raiz da equao x2-x-
  -1=0 : 
a) 5
b) ?5~2* 
c) 1
d) 1~2
<p>
4. Uma das razes da equao kx2-2x+`(k+2`)=0  -1~2. O valor de *k*  um nmero: 
a) par 
b) mpar
c) negativo
d) positivo 

5. A equao `(x+5`)`(x+9`)=2x+5 admite: 
a) Duas razes reais positivas. 
b) Duas razes reais negativas. 
c) Apenas uma raiz real. 
d) Nenhuma raiz real. 

6. Sabendo que a equao x2+bx+3=0 admite razes reais e que *b*  um inteiro de 1 a 10, quantas so as possibilidades para *b*?
a) duas  
b) trs  
c) cinco
d) sete 
<p>
7. A soma e o produto das razes da equao `(x+1`)`(x+2`)=8x+16 so, respectivamente: 
a) -3 e 2  
b) -5 e 14 
c) 5 e -14 
d) -5 e -14 

8. A mdia aritmtica e a mdia geomtrica das razes da equao x2-10x+16=0 so razes da equao:
a) x2-5x+4=0 
b) x2+5x+4=0 
c) x2-9x+20=0
d) x2+9x+20=0 

9. Sendo x1 e x2 as razes da equao x2+7x+6=0, o valor da expresso `(x1+10`).
  .`(x2+10`) : 
a) 176 
b) 126  
c) 96 
d) 36 
<p>
10. (Fuvest-SP) A equao x2-x+c=0, para um conveniente valor de *c*, admite razes iguais a: 
a) -1 e 1  
b) 0 e 2  
c) 1 e -3
d) -1 e 2 

11. A equao x2+1~?x+1*=
  =1+1~?x+1* admite: 
a) Duas razes inteiras. 
b) Apenas uma raiz inteira. 
c) Apenas uma raiz negativa. 
d) Nenhuma raiz real. 

12. Na equao x4+2x2-
  -1=0, quantas so as razes reais? 
a) quatro  
b) trs 
c) duas
d) nenhuma 
<90>
<p>
13. Se o par `(x, y`) de nmeros reais  soluo de x2+y2=5 
  e xy=-2, podemos concluir que `(x+y`)2 : 
a) 0  
b) 1  
c) 4
d) 9

14. Um retngulo ureo  aquele em que o comprimento, *c*, est para a largura, *l*, assim como a largura, *l*, est para a diferena entre o comprimento e a largura, c-l: 
<F+>
<R->

<F->
     c
!:::::::::
l         _
l         _ l
l         _
h::::::r::j
        c-l
<F+>

<R+>
<F->
  Essa razo, c~l, foi chamada de razo urea por Leonardo da 
<p>
  Vinci (1445-1514). Qual  o valor exato dessa razo? 
a) ?5+1*~2
b) ?5-1*~2
c) ?3+1*~2
d) ?3-1*~2 

15. Um nmero tem 20 unidades a mais que sua raiz quadrada. A soma desse nmero com a sua raiz quadrada d: 
a) 30 
b) 28 
c) 24 
d) 20 

16. Uma agncia de turismo organizou uma excurso para uma turma de estudantes. A despesa total foi de R$3.600,00. Como 6 estudantes no puderam ir ao passeio, a parte de cada um aumentou R$20,00. Quantos foram ao passeio? 
a) 30 
b) 32 
c) 36 
d) 40 
<F+>
<R->
<p>
Desafio 

Barbeiro diferente 

  Um barbeiro que apenas corta o cabelo de todas as pessoas que no cortam o prprio cabelo: 
<R+>
<F->
a) Corta o seu prprio cabelo. 
b) No corta o seu prprio cabelo. 
c) Pode cortar ou no o seu prprio cabelo. 
d) No existe. 
<F+>
<R->
<91>

Matemtica no tempo

A frmula de Bhaskara 

  Dificilmente um resultado matemtico  fruto do pensamento de uma nica pessoa. E, mesmo que esse resultado seja conhecido pelo nome de algum, isso no significa que tenha sido essa pessoa quem o descobriu ou mais contribuiu para estabelec-lo. 
<p>
  No Brasil, curiosamente, a frmula de resoluo da equao do 2 grau  conhecida, desde os anos 1960, por frmula de Bhaskara. No se sabe precisamente a origem desse costume, pois, em outros pases e na literatura matemtica, a frmula no  conhecida assim. Mas, ser que o hindu Bhaskara (1114-1185) teve algum papel na descoberta dessa frmula? Qual teria sido esse papel? 
  Estudando a histria do desenvolvimento da cincia, aprendemos 
que os hindus sempre demonstraram grande aptido para a Matemtica, em especial no que se refere a seus aspectos numricos. A eles so creditadas, por exemplo, a criao do sistema de numerao que usamos hoje em dia e a primeira formulao conhecida da regra de sinais da multiplicao de nmeros reais, em geral. Bhaskara  considerado o maior matemtico e astrnomo da ndia do sculo XII. Alis, nesse pas, de lon-
<p>
ga data, Matemtica e Astronomia eram cultivadas conjuntamente -- a primeira, em boa parte, para servir  segunda. 
  Bhaskara tambm era astrlogo. Uma lenda talvez explique o fato de ter dado o nome de sua filha Lilavati ao captulo de Aritmtica de um grande tratado de Astronomia que escreveu (havia na obra, tambm, um captulo sobre lgebra). Segundo a lenda, Bhaskara calculou, com base em 
seu saber astrolgico, a data e a hora propcias para o casamento da jovem. Chegado o dia, ela esperava, ansiosa, a hora prevista diante do relgio de gua. Mas, sem que percebesse, uma prola que enfeitava seus cabelos caiu no fluxo de gua, obstruindo-o. Com isso, a hora prevista passou, e o casamento no se realizou. O nome dado quele captulo seria uma forma de consolar a filha pelo desgosto. 
<p>
  Voltando s equaes do 2 grau, cerca de trs milnios antes de Bhaskara, os babilnios j sabiam resolv-las -- com coeficientes positivos e aceitando apenas as razes positivas --, por um processo semelhante ao que se usa hoje, mas expresso numa receita verbal prtica, no formulada genericamente. Por exemplo, para resolver a equao que em simbologia moderna se expressaria por x2+252=32x (ou x2-32x+
 +252=0, como seria mais comum), 
<92>
 os babilnios faziam a seguinte sequncia de clculos (aqui tambm expressos em notao moderna), sem explicar os porqus: 
<R+>
<F->
1) 32~2=16;
2) 162=256; 
3) 256-252=4; 
4) 4=2; 
5) 16+2=18 e 16-2=14 (so as razes). 
<F+>
<R->
<p>
  Esses clculos se resumem  expresso moderna: 
 16!:-?162-252*=
  =?32!:-?`(-32)2-4.1.
  .252**~2, ou seja, eles j aplicavam a "frmula de 
 Bhaskara"... 
  O grande matemtico persa al-Khowarizmi (sculo IX), responsvel pela difuso da lgebra na Europa, usava correntemente o mtodo de completar o quadrado. Por exemplo, para resolver a equao x2+10x=39 (expressa em notao atual), ele fazia antes a seguinte transformao: 
 x2+10x=x2+2.`(x.5`)=
  =x2+2.`(x.5`)+52-52=
  =`(x+5`)2-25 
  Da: `(x+5`)2-25=39 e, portanto, `(x+5`)2=64. Donde x+5=8 e x=3. (Observe que al-Khowarizmi ignorava a raiz quadrada negativa de 64.) 
<p>
  A ideia usada atualmente para deduzir a "frmula de Bhaskara" -- que consiste em multiplicar o termo quadrtico pelo qudruplo de seu coeficiente, para depois completar o quadrado no primeiro membro (ver o captulo 7) -- se deve ao hindu Sridara (sculo XI), como o prprio Bhaskara deixou registrado. Bhaskara, por outro lado, mostrou que era possvel completar o quadrado sem a multiplicao feita inicialmente por Sridara. Pelo que vimos, a frmula de resoluo de uma equao do 2 grau poderia ter outro nome, talvez mais justo (*frmula de Sridara*, por exemplo). Mas 
por que no o de Bhaskara? Afinal, ele tambm deu sua contribuio ao estudo dessas equaes e foi o ltimo grande algebrista de um perodo de ouro da matemtica hindu. 
<p>
Explorando a leitura 

<F->
<R+>
1. Explique a igualdade
  ?32!:-?`(-32)2-4.1.
  .252**~2=
  =16!:-?162-252*, usada no texto.
2. Resolva a equao x2+5x=
  =66, do modo utilizado por al-Khowarizmi. 
3. O primeiro matemtico a resolver equaes do 2 grau por fatorao foi o ingls T. 
  Harriot (1560-1621), numa obra de 1831. (Deve-se a Harriot, tambm, a introduo dos smbolos < e > para "menor" e "maior", respectivamente.) Para resolver a equao que hoje expressaramos por x2-ax+
  +bx=ab, ele observava que `(x-a`)`(x+b`)=x2-ax+bx-ab e, por-
  tanto, a equao poderia ser expressa assim: `(x-a`)`(x+b`)=0.
<p>
  Da ele conclua que x=a. Em que propriedade numrica 
 Harriot se baseou e o que ele ignorou? 
4. Aplique a ideia de Sridara para completar o quadrado na equao 2x2+5x=33 e, depois, resolva a equao. 
5. O primeiro instrumento usado para medir as horas foi o relgio de sol. Os primeiros, muito simples, consistiam em uma barra vertical e um gabarito para medir a sombra. Pelo comprimento desta, era possvel saber, razoavelmente, em que momento do dia se estava. Mas como saber a hora quando no fazia sol? E durante a noite? Por essas deficincias, os relgios de sol foram suplantados pelos relgios de gua, que, em geral, consistiam em um vaso de alabastro com 
  uma escala no interior e um orifcio perto do fundo. Mantendo o vaso com gua, a passagem do nvel desta de uma marca para a imediatamente abaixo assinalava uma unidade de tempo. Mas relgios de gua tambm tinham suas deficincias,  claro. Aponte algumas. 
<R->
<F+>

               oooooooooooo
<p>
<93>
<R+>
<F->
Unidade 4 -- Temas da geometria 
<F+>
<R->

<94>
Captulo 9- Teorema de Tales

Comparao de grandezas 

  Uma boa maneira de comparar duas grandezas, como o comprimento de dois segmentos,  calcular o quociente entre suas medidas. 
  Por exemplo, consideremos os segmentos ^c?{a{b*, de 3 cm, e ^c?{c{d* de 4 cm: 

<F->
   3 cm
o:::::::o
A       B

    4 cm
o:::::::::o
C         D
<F+>

   claro que ^c?{a{b*  menor que ^c?{c{d*, mas podemos dar uma 
<p>
informao mais detalhada se calcularmos o quociente ^c?{a{b*~^c?{c{d*. Vamos verificar: 
<R+>
 ^c?{a{b*~^c?{c{d*=3 cm ~4 
  cm =3~4=0,75
<R->
  Assim, ^c?{a{b*  3~4 de ^c?{c{d*. Mas tambm podemos denominar essa relao de outra forma.

Razo de segmentos 

  Considerando o exemplo anterior, dizemos que a razo dos segmentos ^c?{a{b* e ^c?{c{d*  3~4. 
  Vejamos outros exemplos. 
  Consideremos os segmentos ^c?{e{f*, de 6 *u* e ^c?{f{g*, de 4 *u*, sendo *u* uma unidade qualquer (cm, dm, m, etc.).  
  Vamos estabelecer a razo dos segmentos ^c?{e{f* e ^c?{f{g*: 
 {e{f~{f{g=6 u ~4 u =
  =6~4=3~2=1,5
<p>
  Portanto, ^c?{e{f*  1,5 vez maior que ^c?{f{g*. 
  Dizemos que a razo dos segmentos ^c?{e{f* e ^c?{f{g*  3~2. Dizemos 3 para 2.
  Vamos agora determinar a razo entre os segmentos ^c?{m{n*, de 0,2 m, e ^c?{p{q*, de 50 cm. Inicialmente, devemos transformar as medidas dos segmentos para a mesma unidade: 
 {m{n=0,2 m =20 cm 
  Em seguida, estabelecemos a razo: 
 {m{n~{p{q=20 cm ~50 cm =
  =20~50=2~5=0,4 
<95>
  A razo entre os segmentos ^c?{m{n* e ^c?{p{q*  2~5. 
  Podemos, ento, definir o que  razo entre segmentos: 

  Quando falamos em razo entre dois segmentos, na verdade, estamos falando da razo de suas medidas, tomadas na mesma unidade. 
<p>
  Dados dois segmentos, ^c?{a{b* e ^c?{c{d*, a razo entre eles  indicada por {a{b~{c{d. 

Segmentos proporcionais 

  Consideremos os segmentos {a{b=8 cm, {c{d=20 cm, {m{n=10 cm e {p{q=25 cm. 
  Vamos obter as razes {a{b~{c{d e {m{n~{p{q: 
 {a{b~{c{d=8 cm ~20 cm 
  :> {a{b~{c{d=8~20 
  :> {a{b~{c{d=2~5  
 {m{n~{p{q=10 cm ~25 cm 
  :> {m{n~{p{q=10~25 
  :> {m{n~{p{q=2~5
  As razes {a{b~{c{d e {m{n~{p{q so iguais a 2~5. Logo, elas so iguais entre si. 
  Temos, ento, a igualdade de duas razes: {a{b~{c{d={m{n~{p{q que  uma proporo. De modo geral, podemos afirmar o seguinte: 
<p>
  Se quatro segmentos, ^c?{a{b*, ^c?{c{d*, ^c?{m{n* e ^c?{p{q*, formam a proporo: 
 {a{b~{c{d={m{n~{p{q 
  Dizemos que ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so proporcionais a ^c?{m{n* e ^c?{p{q*. 

Exerccios
 
<R+>
1. Qual  a razo entre os segmentos ^c?{a{b* e ^c?{c{d* da figura?  
<R->

<F->
    4 cm
o:::::::::o
A         B

        8 cm
o:::::::::::::::::o
C                 D
<F+>

<R+>
<F->
2. Sabendo que {a{b=10 cm, {r{s=16 cm e {p{q=30 cm, determine as razes: 
a) {a{b~{r{s  
b) {r{s~{a{b 
<p>
c) {r{s~{p{q 
d) {p{q~{a{b 
<96> 

3. Na figura, os segmentos ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d* e ^c?{d{e* so congruentes. 
<F+>
<R->

<F->
o::o::o::o::o
A  B  C  D  E
<F+>

{a{b={b{c={c{d={d{e= u
<R+>
<F->

  Estabelea as razes: 
a) {a{b~{b{c
b) {a{b~{b{e
c) {a{c~{c{e
d) {a{d~{a{b
e) {b{c~{a{e 

4. Os segmentos ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so proporcionais aos segmentos ^c?{c{d* e ^c?{e{f*, respectivamente. Se {a{b=2 cm e {e{f=8 cm, determine a medida de ^c?{c{d*.  
<p>
5. Determine a medida dos segmentos ^c?{a{b* e ^c?{b{c* da figura, sabendo que {a{b~{b{c=
  =2~3 e {a{c=35 cm. 
<F+>
<R->

<F->
   x       y
o:::o:::::::::o
A   B         C
<F+>

<R+>
6. Na figura, {a{b~{a{c=3~7 e {b{c=16 cm. Determine os valores de *x* e *y*. 
<R->

<F->
A      B          C 
o:::::o::::::::::o
    y      16 cm
 :::::::::::::::::::
          x

<R+>
<F->
7. Os segmentos ^c?{a{b*, ^c?{c{d*, ^c?{m{n* e ^c?{p{q* formam, nessa ordem, uma proporo. Se {m{n=2 cm, {p{q=5 cm e {a{b+{c{d=28 cm, determine {a{b e {c{d. 
<p>
8. A razo entre a base e a altura de um retngulo  5~2. 
  Se a base mede 15 m, determine o permetro do retngulo.  
9. A razo entre dois lados de um paralelogramo  2~3. Se o permetro do paralelogramo  150 m, determine as medidas dos lados.  
10. Se M  o ponto mdio de um segmento ^c?{a{b*, determine a razo {a{m~{m{b.
11. Qual  a razo entre o raio e o dimetro da mesma circunferncia? 
<F+>
<R->
<p>
Feixe de paralelas 

  Um conjunto de retas de um plano, todas paralelas entre si,  chamado feixe de retas paralelas. 

<F->
 <:::::::::::>
          
 <:::::::::::>
        
       
 <:::::::::::>
     
 <:::::::::::>
<F+>
<p>
Transversal do feixe 

  Uma reta que concorre com todas as retas do feixe  chamada transversal desse feixe. 

<F->
             
            
 <:::::::::::>
          
 <:::::::::::>
        
       
 <:::::::::::>
     
 <:::::::::::>
   
  
<F+>
<97>
 
Paralelas igualmente espaadas 

  Sobre uma reta *s* esto marcados os pontos A, B, C, D, E, ... de modo que: 
 {a{b={b{c={c{d={d{e=...=h 
<p>
  Vamos traar, passando por um a um desses pontos, uma reta perpendicular a *s*. 

<F->
      _ s
      _
    _-_ A
 <::::o:::::::> a
    h _    
    _-_ B
 <::::o:::::::> b
    h _ 
    _-_ C
 <::::o:::::::> c
    h _ 
    _-_ D
 <::::o:::::::> d
    h _ 
    _-_ E
 <::::o:::::::> e
      _
      _
<F+>
<p>
  Percebemos que as retas *a*, *b*, *c*, *d*, *e*, ... so paralelas entre si. Dizemos, ento, que elas so retas paralelas igualmente espaadas. 
  Quando consideramos um feixe de paralelas igualmente espaadas e uma transversal *t* qualquer, a reta *t* intercepta as retas do feixe em A, B, C, D, E, etc. 

<R+>
_`[{figura no representada_`]
<R->

  O que podemos afirmar sobre AB, BC, CD, DE, etc.? Isso mesmo: tm medidas iguais, porque os tringulos destacados na figura so todos congruentes entre si. 
  Tambm  verdade que, se considerarmos uma transversal *t*, nela marcarmos os pontos A, B, C, D, E, etc., de modo que {a{b=
 ={b{c={c{d={d{e=...=x, e tra-
<p>
armos por esses pontos um feixe de paralelas, as retas do feixe (a, b, c, d, e, ...) sero 
igualmente espaadas (o que se prova usando congruncia de tringulos).   
 
<F->
               t
          A 
 <::::::::::::::> a
        B  x
 <::::::::::::::> b
      C  x
 <::::::::::::::> c
    D  x
 <::::::::::::::> d
  E  x
 <::::::::::::::> e
   
  
<F+>
 
  Finalmente, quando temos um feixe de paralelas igualmente espaadas e duas transversais *s* e *t* quaisquer, o feixe determina em *s* segmentos todos congruentes 
<p>
entre si (com medida *x*) e tambm determina em *t* segmentos todos congruentes entre si (com medida *y*). 

<F->
            s     t
                  
 <:::::::::::::::::::::::::::> a
         x           y
 <:::::::::::::::::::::::::::> b
       x               y
 <:::::::::::::::::::::::::::> c
     x                   y
 <:::::::::::::::::::::::::::> d
   x                       y
 <:::::::::::::::::::::::::::> e
                            
                             
<F+>

  Podemos, ento, generalizar: 
 
  Se um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, ento determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal. 
<98> 
<p>
Teorema de Tales 

  Ao observarmos a figura a seguir, que mostra um feixe de para-
lelas com duas transversais, podemos dizer que: 

<F->
          A  s  t  A
 <::::::::::::::::::::::::::::> 
                      
                      
      B                B
 <::::::::::::::::::::::::::::> 
    C                    C
 <::::::::::::::::::::::::::::> 
                            
 D                          D
 <:::::::::::::::::::::::::::::> 
                               
                                
<F+>

<R+>
<F->
 so correspondentes os pontos: A e A, B e B, C e C, D e D; 
<p>
 so correspondentes os segmentos: ^c?{a{b* e ^c?{a{b*, ^c?{c{d* e ^c?{c{d*, ^c?{a{c* e ^c?{a{c*, etc. 
<F+>
<R->
  Vamos supor que exista um segmento *x* que "cabe" *p* vezes em ^c?{a{b* e *q* vezes em ^c?{c{d*, e que *p* e *q* sejam nmeros inteiros. Na figura _`[no representada_`], p=5 e q=4. 
  Temos, ento: 
 {a{b=p.x e {c{d=q.x 
  Estabelecendo a razo {a{b~{c{d, temos: 
 {a{b~{c{d=?p.x*~?q.x* 
  :> {a{b~{c{d=p~q (1)
  Conduzindo retas do feixe pelos pontos de diviso de ^c?{a{b* e ^c?{c{d* (veja linhas tracejadas na figura _`[no representada_`]), observamos que: 
<R+>
<F->
 o segmento ^c?{a{b* fica dividido em *p* partes congruentes (de medida x); 
<p>
 o segmento ^c?{c{d* fica dividido em *q* partes congruentes (tambm de medida x);
{a{b=p.x e {c{d=q.x 
 ao estabelecermos a razo {a{b~{c{d, temos: 
{a{b~{c{d=?p.x*~?q.x* :> {a{b~{c{d=p~q (2) 
 comparando as igualdades (1) e (2), vem: 
{a{b~{c{d={a{b~{c{d  
<F+>
<R->
  Da, conclumos: 
 
  Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais segmentos proporcionais. 
<99> 

  Esse enunciado  conhecido como o teorema de Tales e pode ser dado de forma mais detalhada: 

  Se duas retas so transversais de um feixe de retas paralelas, ento a razo entre dois segmentos quaisquer de uma delas  igual  razo entre os segmentos correspondentes da outra. 
<p>
  Observe que se trata da razo entre dois segmentos quaisquer de 
uma transversal e seus correspondentes da outra. 
  Assim, na figura _`[no representada_`], temos: 
<R+>
<F->
{a{b~{b{c={a{b~{b{c ou a~b=a~b
{a{b~{a{c={a{b~{a{c ou a~c=a~c
{b{c~{a{c={b{c~{a{c ou b~c=b~c, etc.
<F+>
<R->
  Como consequncia, as razes entre segmentos correspondentes so iguais: 
 a~a=b~b=c~c 
<p>
Exerccios

<R+>
12. Nas figuras, a_lb_lc. Calcule *x*: 
<R->
 a)
<F->
           r      s
a <:::::::::::::::::::::::::> 
        2          3
b <:::::::::::::::::::::::::> 
                     
                      
    4                  x
c <:::::::::::::::::::::::::> 
                          
                          

b)
<F->
           r      s
  <:::::::::::::::::::::::::> a
        4          x
  <:::::::::::::::::::::::::> b
                     
                      
   12                  21
  <:::::::::::::::::::::::::> c
                          
                          
<F+>
<p>
c)
<F->
      r                 s  
 <::::::::::::::::::::::::::> a
     x                   8
 <::::::::::::::::::::::::::> b
                      
                     
        9           12
 <::::::::::::::::::::::::::> c
                   
                 
<F+>

d)
_`[{figura no rrepresentada_`]
<p>
<R+>
13. Sendo *r* e *s* transversais de um feixe de paralelas, calcule *x* e *y*:  
<R->

<F->
   s         r  
              
  <::::::::::::> 
             
   5       x
  <::::::::::::> 
     3   2
  <::::::x:::::::> 
          
    4     y
  <::::::::::::> 
            
             
              
                
<F+>
<100> 
<p>
<R+>
14. Sendo a_lb_lc_ld, determine *x*, *y* e *z*: 
<R->
<F->
a)
    la   lb   lc   ld
    l    l    l    l
 <::r::::r::::r::::r::>
    l z  l 6 l    l  r
    l    l    l    l
 <::r::::r::::r::::r::>
    l 3 l  y l 2 l  s
    l    l    l    l
 <::r::::r::::r::::r::>
    l 4 l 5 l  x l  t
    l    l    l    l
    l    l    l    l
<p>
b)
    lr   lt   ls  
 <::r::::r::::r::::::> 
  x l    l    l 6   a
    l    l    l    
 <::r::::r::::r::::::>
 2 l    l 1 l 3   b
    l    l    l   
 <::r::::r::::r::::::> 
  y l    l 4 l  z   c
    l    l    l    
 <::r::::r::::r::::::> 
    l    l    l      d
    l    l    l   
    l    l    l   
<F+>
<p>
<R+>
15. Sendo a_lb_lc_ld, determine *x* e *y*:  
<R->
a)
<F->
                r  s
                   
                    
        A          
 <::::::::::::::::::::::::::> a
 21  B  x            4
 <::::::::::::::::::::::::::> b
        y                
                           3
 <:::::::::::::::::::::::::::> c
  C                        

b)
                r  s
                   
                    
        A           D
 <::::::::::::::::::::::::::> a
 21  B  x        4  E
 <::::::::::::::::::::::::::> b
        y           10  F
                          
 <:::::::::::::::::::::::::::> c
  C                        
<p>
<F+>
<R+>
16. Um feixe de 3 paralelas determina, numa transversal, os pontos A, B e C e, numa outra transversal, os pontos correspondentes A, B e C. Se {a{b=4 cm, {b{c=7 cm e {a{b=12 cm, determine {b{c. 

17. Nas figuras, calcule *x*, sendo a_lb_lc: 
<R->
<F->
a)
               r l s
                 l
                 l        a
 <:::::::::::::::r::::::::> 
   2x+3        l 4     b
 <:::::::::::::::r::::::::> 
 5x-1          l 7
                 l        c
 <:::::::::::::::l::::::::> 
                 l

b) _`[{figura no representada_`]
<p>
c)
    2x+2    4 
 <:::::::::::::::::::::::>
 r                 
        5x-1   7 
 <:::::::::::::::::::::::>
 s                    
          a        b    c
<F+>

<R+>
18. Sabendo que ^c?{d{e*_l^c?{b{c*, determine *x*: 
<R->
a)
<F->
           A
           
            
      8      x
              
                
   D :::::::::: E
                 
 2                3
                   
  ------------------u
  B                C
<p>
b)
            A
            
             
               
               
     9          
        D       
                 
      6           
                   
           E       
  ----------u---------u
  B   x              C
  ::::::::::::::::::::o
          18
<F+>
<101>

Construo 1 

<R+>
_`[{as figuras da Construo 1 no foram representadas_`]

Diviso de segmento em partes congruentes 
<R->

  Dado um segmento ^c?{a{b*, vamos dividi-lo em trs partes con-
<p>
gruentes. Para tanto, voc vai precisar de rgua, compasso e esquadro. 
<R+>
<F->
1- Traamos por A uma semirreta Ar que seja oblqua a ^c?{a{b*. 
2- Tomando o compasso com abertura *a* qualquer, marcamos em :,?Ar* os pontos X, Y, Z, tais que {a{x={x{y={y{z=a. 
3- Traamos a reta ^c?{z{b*. 
4- Usando rgua e esquadro, 
  traamos as retas ^c?{y{d*_l^c?{z{b* (com D em ^c?{a{b*) e ^c?{x{c*_l^c?{z{b* (com C em ^c?{a{b*). Os pontos C e D dividem ^c?{a{b* em trs partes congruentes. 
<F+>
<R->
<102>
<p>
Construo 2 

<R+>
_`[{as figuras da Construo 2 no foram representadas_`]

Diviso de segmento em partes no congruentes 
<R->

  Dado um segmento ^c?{a{b*, vamos dividi-lo em duas partes que 
estejam na razo 2~3. Use rgua, compasso e esquadro. 
<R+>
<F->
1- Traamos por A uma semirreta Ar que seja oblqua a ^c?{a{b*. 
2- Tomando o compasso com abertura *a* qualquer, marcamos em Ar 5 pontos, X, Y, Z, T e U, tais que {a{x={x{y={y{z=
  ={z{t={t{u=a. 
3- Traamos a reta ~:,?{u{b*. 
4- Usando rgua e esquadro, traamos por Y a reta ~:,?{y{c*_l~:,?{u{b*, com C em ^c?{a{b*. O ponto C divide ^c?{a{b* na razo {a{c~{c{b=
  ={a{y~{y{u=2~3.
<F+>
<R->
<103>
<p>
Exerccios
<F->
<R+>

  Nos exerccios 19 a 22 voc vai usar rgua, esquadro e compasso para construir o que se pede no caderno. 
<R->
<F+>

<R+>
_`[{para os exerccios 19 a 22, pea orientao ao professor_`]

<F->
19. Construa um segmento ^c?{a{b* de 5,8 cm. Em seguida, divida ^c?{a{b* em quatro partes congruentes. 
20. Construa um segmento ^c?{c{d* de 4,3 cm e, em seguida, divida ^c?{c{d* em cinco partes congruentes. 
21. Desenhe um segmento de 7 cm. Depois, divida-o em duas partes que estejam na razo 1~2. 
22. Desenhe um segmento de 6 cm e divida-o em dois segmentos que estejam na razo 2~5. 
<p>
23. Determine *x* e *y*, sendo *r*, *s* e *t* retas paralelas. 
<F+>
<R->

<F->
              _  
              _   
       A     _ D  G
r <::::::o::::o:::o:::::::> 
     B       _ E    H 
s <::::o::::::o:::::o:::::> 
              _        
  C          _ F       I
t <:o:::::::::o::::::::o::> 
              _           

{a{c=x
{b{c=12
{d{e=2
{e{f=x-7
{g{i=20
{h{i=y
<F+>

<R+>
<F->
24. Uma reta paralela ao lado ^c?{b{c* de um tringulo {a{b{c determina o ponto D em ^c?{a{b* e E em ^c?{a{c*. Sabendo que 
  {a{d=x, {b{d=x+6, {a{e=3 e {e{c=4, determine a medida do lado ^c?{a{b* do tringulo.  
<p>
25. A figura a seguir indica trs lotes de terreno com frentes para a rua A e para a rua B. As divisas dos lotes so perpendiculares  rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para a rua A medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2 para a rua B mede 28 m. Qual  a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3? 

<F->
-----------------------------
Rua A
   15 m  20 m    25 m
::!:::::!:::::::!:::::::::!::
  l     l       l         l
  l     l       l         l
  l     l       l         l
  l 1  l   2  l    3   l
  l     l       l         l
  l     l       l         l
::h:::::h:::::::h:::::::::h::
    x     28 m     y             
Rua B
ccccccccccccccccccccccccccccc
<F+>
<p>
<F+>
<R->
<R+>
<F->
26. Um feixe de quatro paralelas determina, sobre uma transversal, trs segmentos consecuti-
  vos, que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm. Calcule o comprimento dos segmentos determinados pelo feixe em outra transversal, sabendo que o segmento desta, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 60 cm.  
27. Um tringulo {a{b{c tem os lados ^c?{a{c* e ^c?{b{c* medindo 32 cm e 36 cm, respectivamente. Por um ponto M, do lado ^c?{a{c*, a 10 cm do vrtice C, traamos uma paralela ao lado ^c?{a{b* que determina um ponto N em ^c?{b{c*. Qual  a medida de ^c?{c{n*?  
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Segunda Parte

